Bogengeometrie ein Konstruktionsproblem

[killerkarpfen]

Liebe Mathematiker

Ich wollte eine Zeichnung konstruieren wie sich ein Bogen beim Ausziehen verhält, doch ich sehe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.

Es geht darum den Bogen in seiner Länge auf Standhöhe zu zeichnen und danach in den verschiedenen Auszugslängen die Biegung darzustellen. Ich habe ein uraltes CAD Programm mit einigen Funktionen. Das was ich brauche kann es aber nicht.
Ich weiss Himmel... nicht mehr wie man ein Kreissegment mit vorgegebener Länge in verschiedenen Radien konstruiert. Siehe die angefangene Zeichnung. Es geht ganz einfach die Sehnenlänge zu zeichnen und den Abstand der Standhöhe. Darüber kann ich ohne weiteres einen Bogen legen und den auch vermessen.
Zeichne ich das V der Sehne im Auszug, ergibt sich ein (vorläufig noch) gleichschenkliges Dreieck von den Bogentips zum Nockpunkt. Mit zunehmendem Auszug wir die Hypotenuse (Tip zu Tip) kürzer. Bis da alles kein Problem.

Ab hier bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich weiss nicht wie den neuen Bogen mit gleicher Länge doch engerem Radius stimmend darüber zu konstruieren. Siehe dazu die angefangene Zeichnung.

Und wozu das alles? Weil ich glaube, dass ein Bogenholz einen gewissen Biegeradius aushalten kann. Bei verschieden langem Auszug kann ich dann mit dem gleichbleibenden Radius die benötigte Länge des Bogens errechnen. Oder umgekehrt anhand der Länge den maximalen Auszug eines Bogens bestimmen und das eben visuell darstellen.
Es ist mir klar, Theorie und Praxis sind nicht das Selbe, ich möchte es einfach einmal versuchen.

[Mike W.]

geh doch das problem von der anderen seite an!
nimm einen bogen, der gut getillert ist und nen tillerstock.
dann vergrößerst du den auszug und überträgst das auf ein stück tapete.
dann wieder ein stück weiter spannen .....

dann kannst du in aller ruhe ausmessen und die werte in dein programm eingeben, bzw die problematik rechnerisch versuchen umzusetzen.

so überprüfe ich zb. ob die wa im richtigen verhältnis arbeiten.
indem ich den bogen dann andersrum auflege hab ich die kontrolle...

so kann ich auch mehrere bögen identisch arbeiten lassen.

[fatz]

@killerkarpfen
ich versuch das grad nur im Kopf, aber so muesste es eigentlich gehen:
1. Bogen auf Standhoehe zeichnen. Dabei die Laenge des Bogens und der Sehne bestimmen.
2. Bogen mit gleicher Laenge aber kleinerem Radius (dein theoretischer Minimalradius) zeichnen, an die Bogenenden die Sehne dranhaengen und den Auszug rausmessen.

Die Frage ist halt ob das mit deiner Voraussetzung so hinhaut. Der minimal moegliche Biegeradius ist sicher dickenabhaengig, weil Holz halt nur eine bestimmte Laengendifferenz zwischen komprimierter und gestreckter Seite aushaelt. D.h. damit das ganze was aussagt muss dein realer Bogen ueberall gleich dick sein.

[killerkarpfen]

Also Bögen aus Holz bauen ist kein Problem.
Ich möchte einen Bogen in der Veränderung vom Radius übereinander zeichnen. Auch kein Problem.
Aber den Bogen besser gesagt ein Kreissegment mit genau definierter Länge, jedoch anderen Radien zeichnen oder Konstruieren, das geht nicht mehr.
Alles nur rein theoretisch.
Vielleicht ist das neue Bild verständlicher mit dem was ich will.

Beim ausziehen verändert sich der Sehnenwinkel und der Bogen verändert seinen Radius. Genau so wie es in der Praxis funktioniert muss es sich auch in der Theorie darstellen lassen.
Ich habe es versucht mit allen möglichen Hilfskreisen

Klar in der Praxis wird der Bogen aussen gestreckt und am Bauch komprimiert. das alles ist im Moment noch gar nicht wichtig. ich möchte das rein geometrisch mit einer einzigen Linie darstellen. Aber wie.

Die Länge von 2042mm muss beim geometrischen konstruieren eben immer gleich bleiben. Sowie natürlich auch die beiden Schenkellängen des Sehnendreiecks.

[B' patient]

Hallo Killerkarpfen,
schau dir mal die Formeln zum 'Segment' an. Hoffentlich hilft es dir weiter.

Bild aus ehemaligem Lehrbuch.

LG B' patient

[71-Stunden-Ahmed]

Hi,

wie wärs hiermit?

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment

https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Circular_segment.svg

Code: Alles auswählen

Größen des Kreissegments:

    α = Mittelpunktswinkel
    b = Kreisbogen
    h = Segmenthöhe
    r = Radius
    s = Kreissehne
    A = Segmentfläche
    M = Kreismittelpunkt

Die Länge des Kreisbogens (b) ist konstant, ebenso die Länge der Sehne (= 2r).

Der Auszug (h) ändert sich und hat bei Standhöhe sein Minimum.

Hth,

Ahmed

[Ösi]

Servus,
was für ein CAD-Programm verwendest Du?

[killerkarpfen]

@ Ösi MEGA CAD eine Win 95 Version Für heutige Verhältnisse eher eine Museumsversion. Relativ einfach kann aber schon einiges.

Ich sehe, wie ich eigentlich befürchtet habe, Segmentradius und Sehnenwinkel sind nur rechnerisch über Sinus Cosinus und Tangens zu definieren, was sich eben nicht linear verändert. Das ist mir für den Moment zu weit weg und zu aufwendig für das was ich vor hatte.

[achtel]

wenn du davon ausgehst, dass sich der Bogen auf einer Kreisbahn biegt, solltest mit den Formeln von Ahmed hinkommen.
Aber: um die Biegelinie zu ermitteln, bedarf es wesentlich mehr Anstrengung oder einer entsprechenden Software, die dir das abnimmt.
Die Biegelinie hängt vor allem vom Verlauf des Querschnittes (der ist bei jedem Bogen anders) und vom Krafteinleitungspunkt sowie Winkel der Krafteinleitung ab. (Sehnenwinkel variiert im Verlauf des Auszuges ja ständig, somit kannst du auch nicht einfach mit "Balken auf 2 Stützen" rechnen)

zum minimalen Biegeradius:
das kannst du nicht pauschal für eine Holzsorte festlegen. Der minimale Biegeradius hängt von der Dicke deines Holzes ab. Die Holzfasern können sich unter Krafteinwirkung nur um eine gewisse Länge Dehnen, bis sie der Belastung nachgeben und zerstört werden. Je weiter die belastete Holzfaser von der neutralen Faser entfernt liegt, desto weiter wird Sie sich bei Biegung dehnen. Die zulässige Randfaserdehnung gibt dir also die Grenze für den minimalen Biegeradius. Analoag gilt dies auch für die gestauchten Bereiche, wobei das aber nicht bei allen Holzsorten kritisch ist.

lg achtel

[Wilfrid (✝)]

Du meinst sowas:


Du zeichnest ein Kreissegment von beliebigem Radius und definierter Länge durch den Druckpunkt, um die Enden einen Kreis mit der halben Sehnenlänge , der Schnittpunkt ist die neue Nockpunktlage

[killerkarpfen]

Genau!

Leider kann mein Programm, oder ich finde nicht heraus wie, keine definierte Länge um den Radius legen. Messen, ja das geht und genau das macht es für mich schwer.

[Hammer]

Die Länge des Kreisbogens (b) ist konstant, ebenso die Länge der Sehne (= 2r).

Der Auszug (h) ändert sich und hat bei Standhöhe sein Minimum.

Hth,

Ahmed

Die Sehnenlänge (des Bogens) ist aber nicht gleich 2r, sonst wäre der Bogen ja auf Standhöhe ein exakter Halbkreis mit Standhöhe = halber Sehnenlänge (!), und mit zunehmendem Auszug würde sich der Kreisradius (r) nicht verändern, sondern nur der Mittelpunnktswinkel und damit eben die Bogenlänge.
Wenn man Segmentsehnenlänge und Segmenthöhe als gegeben annimmt, kann man den Kreisradius mit folgender Formel berechnen:
r = (s^2 + 4*h^2)/(8*h)

[Wilfrid (✝)]

Welches Programm hast Du?
Ansonsten ist bei Vollauszug und nem Kreistiller, also alle Sehnenwinkel 90° der Bogen im 1/4 Kreis

[killerkarpfen]

Welches Programm hast Du?

@ Ösi MEGA CAD eine Win 95 Version Für heutige Verhältnisse eher eine Museumsversion. Relativ einfach kann aber schon einiges.

Ansonsten ist bei Vollauszug und nem Kreistiller, also alle Sehnenwinkel 90° der Bogen im 1/4 Kreis

Diese Rechnung geht leider nicht auf. Meine Beispielszeichnung hat eine Sehnenlänge von 2000mm der Bogen darüber 2043mm
Der Rechenweg ergibt bei einer Sehnenlänge von:
2000mm x 3.14 = 6283.2 / 4 = 1570.8mm

Am Ende hätte ich eben vor, rechnerisch und konstruktiv mit den gleichen Radien und Dehnung sowie Kompression mit den gegebenen Sehnenwinkeln bzw. Standhöhe auf dem Papier zu spielen. Quasi auf zeichnerischem Weg einen Bogen mit einem getesteten langen Auszug auf einen "normalen Auszug zu kürzen. So dass immer noch der gleiche Radius also die gleiche Belastung im Holz bleibt.
Technisch-geometrische Spielereien

[Hammer]

Einzige Möglichkeit, die ich jetzt so sehe, wäre, eine Tabellenkalkulation zu erstellen. Erste Spalte verschiedene Kreisradien, für die zweite Spalte den Mittenwinkel zum Kreissegment für die konstante Bogenlänge und den betreffenden Kreisradius aus Spalte 1 berechnen lassen nach der Formel:
=(b*180)/A2/PI()
wobei b = Bogenlänge (immer gleich, hier Zahl einsetzen)
A2 = Tabellenzelle aus erster Spalte (Kreisradius)
mit den errechneten Mittenwinkeln und den Kreisradien könntest Du dann im CAD-Programm zeichnen; jeweils um die Bogenenden noch je einen Kreis mit r = 1/2 Bogensehnenlänge, dann hättest Du die Auszugslänge im Schnittpunkt dieser beiden Kreise.