Die Betrachtung bezieht sich erstmal nur auf Eibenlangbögen.
Der Bogen stellt technisch in erster Näherung (und im Idealfall) einen Biegeträger mit konstanter Biegespannung dar.
Drei Situationen habe ich angeschaut:
- Stand
- halb ausgezogen
- voll ausgezogen
Die Skizzen sind lediglich zur Visualisierung, nicht maßstäblich.
Man sehe mir einige Vereinfachungen nach.
Sehnenspannung:
Berechenbar aus der Auszugskraft und Sehnenwinkel, beides meßbar am Tillerbrett.
Die Sehnenkraft ist durchaus beträchtlich, auch im Stand. Hier ist allerdings die Berechnung komplexer:
Sehnenkraft = Quotient aus Biegemoment und Nullauszuglänge (Skizze).
Biegemoment ist Biegespannung mal Widerstandsmoment.
Biegespannung aus dem Internet, z.B. für Fichtenleimbinder nach DIN 10 N/mm2 (Eibe ist fester, schätze ich auf 13 N/mm2). Weis da jemand mehr?
Widerstandsmoment ist Produkt aus Flächenträgheitsmoment des jew. Querschnitts mal Randfaserabstand.
DH.: Je stärker der Bogen und je geringer der Abstand Sehne zum Bogen, desto größer die Sehnenkraft im Stand.
Es ist also richtig, daß diese Situation für die Sehne durchaus kritisch sein kann.
Biegespannung:
Die gesamte Biegespannung setzt sich zusammen aus einer Biegung durch Tangentialkraft und Biegung aus Radialkraft (aus Durchbiegung).
Die Sehnenkraft kann in eine radiale und tangentiale Komponente zerlegt werden. Die Tangentialkraft mal ca. Bogenarmlänge (Skizze, besser: Hebelarmlänge..) ergibt das erste Biegemoment.
Die Radialkraft mal HA (Skizze) ergibt die zweite Biegemomentskomponente.
Es gibt noch eine Druckkraft auf den Bogen, die im Vollauszug bei Phi ca. 90° aber vernachlässigt werden kann.
Nun kommts:
Biegespannung Sigma B ist Quotient aus Biegemoment und Widerstandsmoment.
Widerstandsmoment ist Produkt aus Flächenträgheitsmoment des Querschnitts mal Randfaserabstand.
(keine Panik, gibts alles im Internet für Rundquerschnitt, Halbrundquerschnitt und Rechteckquerschnitt).
Das Biegemoment 1 ist am Griff am größten und nimmt linear zum Tip hin ab bis auf null.
Das Biegemoment 2 ist konstant über die Wurfarmlänge, also auch bis zum Tip hinaus.
Das erklärt, warum bei grenzwertig ausgelegten Bögen der Bogen gerne beim unsachgemäßen Spannen im äußeren Bereich bricht.
Sicherheit gegen Bruch:
Sicherheit ist Quotient aus zulässiger Spannung, errechneter Spannung und Kerbfaktor.
Kerbfaktor gibt „Güte“ des Bogens wieder, also die Frage, hat der Bogen Astlöcher, Querkerben, raue Oberfläche, Verwachsungen, Drehwuchs…, das alles nenne ich "Kerbe".
K sollte ca. 1,3 nicht überschreiten, im Idealfall 1.
Kerbfaktor wirkt sich vorwiegend auf die Zugseite aus.
Die Spannung ist jew. an Zug- und Druckseite an der Oberfläche am größten, in der „neutralen Faser“ ist sie null.
Die Sicherheit sollte aus meiner Sicht so gegen 1,4 sein. Ein Bogen sollte nicht so ganz an die Materialbruchgrenze ausgelegt werden, sonst hat man nicht lange Spaß daran.
Antwort: Nicht viel, der erfahrene Bogner macht das ja alles bereits intuitiv.
Gut geschätzt ist eben besser als schlecht gerechnet.
Wenn durch Kerben (s.o.) die Spannung erhöht wird, muß durch mehr Material dieses wieder ausgeglichen werden (das ist die Kunst..).
Es könnte natürlich auch sein, daß ich einen Fehler in der Rechenmethode habe. Wer einen Fehler findet, darf ihn behalten!
(im Ernst bin ich für jede Verifizierung/Kritik dankbar..).
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